home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
56
Пользуясь разложением в ряд Маклорена Sinx, будет иметь
Bg
X3 , В 5 * 5
_____
Sin Bx ~ B t x
31
"г
5!
— ......... , но таких как
Bs — В 5 — ............ — О, то Sin Вх = ~ — ; тогда предыдущее равенство принимает вид Los Вх (I— Cosx) =
х Sin х
CoS Вх = 2 (I -C os х)
Заменяя здесь х через 2х, получим
^
х Sin 2 х
LOS 2 Вх = Т — Cos 2 х =

х Sin х
----- ------ , или

Х С^аХ-

Это позволяет написать разложение в ряд х cto-x
4 Во х2
42
" В4
~ х4'
43 В6 хб
X ctgx = 1 2!
4!
6!
Л

Дальше замечая, что cti? ^ — ctgx

1_

Sinx

Ctgx — 2 ctq 2 х = tgx , найдем разложение ~
Sinx
Используя числа Бернулли, получим
2x6
х ctgx = 145
945 +
7 X*
31 Х6
г
= 1
чт 1 15120
оП +
Sinx
6 + ' 360
х3
2 х5 , 1 7 х7
tgx = х + - J - + - у -Г ■ 317 “ + ■•••

tgx.

Аналогично числам Бернулли полезными в практических при­
ложениях числами являются числа Эйлера. Числами Эйлера назы­
ваются числа, определяемые символическим равенством
(

е

+

i

) P+ (

e

-

Вводя условные обозначения Е

l ) p = 0.
через Е п и полагая

Ео = 1, а р последовательно р =

1, 2, 3,

................

находим непосредственным вычислением:
Е0 = 1; Ец = 0; Е2 = - 1; Е , = 0; Е4 = 5; Е5 = 0; Е 6 = Е , = 0; Е 8 — 1385; Е э — 0; ................

61

Мы видим, что числа Эйлера с нечетными индексами равны
нулю. Исходя из определения Эйлеровых чисел, применим формулу
Тейлора. Получим соотношение
f [( х + ( Е + 1 ) h ] +

f [ х + ( Е - 1) h ] я 2 f (х).