home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
55
Возьмем тождество

Р =

х + (В + 1 ) hi — f (х + В Ь ) = У [ ( В +

1 ) р - В Р [ ь-...f - (х)

« L
Р= 1

J

р!

Правая часть на основании рав (А ) приводится к

ь {' (х) +

f" (х) +

Г" (х) +

*

.........

=

h f (X +

Принимая же во внимание основное тождество
получим f

{ х —
(— h ) —}— В h

h)

(1)

— f ( х -f В h ) = h f' ( х —
f- h)

(II)

Это и есть основная формула в теории чисел Бернулли.
Заменяя в ней х через — h, a h через х, получим:
f ( В х ) — f ^ Вх — х ) — х Р ^ о )
При f( х ) гг х р

(Ш)

формула (III) принимает вид

В ” — ^ В — 1 ) р = о в предположении Р Ф 1
При р
—

1, на основании рав (А), будем иметь( В -f- 1 ) Р —

В — 1 ^ р = р или, заменяя Р на 2р, получим
н ,„

: •

( ь

+ т (

1 ) ( 2р — 2 )

2р - l )

( 2р

В 2р_ з +

... +

2]В

Полагая р = 2, 3, 4 .......... , находим, что В 3 = В 5 = В- =
= . . . . — 0, т.-е. подтверждаем эмпирические заключения о том,
1
что числа Бернулли с нечетным индексом, за исключением B j =
,
равны нулю.
Положим теперь в формуле (III) f (х) ~ ех , при этом,
мая во внимание, что е

ях

е

(я Ф Р) X

Рх

получим

прини-

производя-

щую функцию чисел Бернулли.
Будем иметь е
откуда е

+

Вх

е

Вх

Вз хз
1. 2. 3.

— 1

+!

.............. ~

Вх

. е

— х

1 + Bj х

или
1х +1

X

,

Х“

Ф'

|_ 12

X'
720

Пусть i (х) = Cosx, формула (III) примет вид.
Cos Вх — Cos Вх Cos х — Sin Вх Sin х—о

В2

,

ППГ +