home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
54

пределу, от которого дальше с возрастанием п опять удаляется,
что приводит к расходимости ряда. Такие ряды называются псев­
досходящимися. Теория последовательности чисел, разрешающих
намеченную задачу, основывается на следующем положении.
Тождество f [а + (h + х ) ] — f [(а ~\- h) -Ц х]
(I),
в котором обе части разложимы в ряд Тейлора, остается справед­
ливым, когда заменим степени переменного х произвольными числами,
В самом деле, разложение f (а —
{- h -j~ х) по формуле Тейлора
можно представить в двух видах.
( a -f- h) —
J— х

f ( a -j—h ) -j— — f (a -J- h) -)-

— F (а-j-h) -j- .,

Ь
+
А
f
(a
+
h)
+
(h;
f (a)
f" (a)
1
' ‘ 7 '
2!
Если во втором разложении выделить все члены, содержащие

a -j- (h -j- x)

, то, как

нетрудно

проверить,

получим

тот же козфициент,

что при х в первом разложении.
Оба выражения останутся тождественными, когда заменим
числа I, х, х2, X s . . . . произвольными числами а0,
а2, а3, ............
причем, конечно, предполагаем, что после такой замены получим
сходящийся ряд.
«1 h
Будем в дальнейшем выражении а0 f (х) -ff (х)
+ - * - f w( x ) 4 2!

условно обозначать символом f (х -j- а h). В опре­

делении интересующих нас чисел особенно важное значение имеет
функция е

aj х

1

+ ■ 3!

2!

-f- •••• Такую функцию

будем называть производящей функцией последовательности чисел
Я0>
a2> a3- •- ••
Рассмотрим теперь последовательности чисел, определяемых
символическим равенством (В - ••1)^ —
= I . . . . . . (А), где
р = 1, 2, 3 . . . . Такие числа и называются числами Бернулли,
Условимся при этом В 11 заменять на В^ , считая
В0 =

при этом

I. Тогда при р = 2 получим из (A) 2 B t -|- I =•- 2 или В х — 4 при р — 3.
при р = 4.

3 В3
3 В а -J- 1 = 3, или В 2 ~ 1/с
4 В 3 -j- б В 2 -f- 4 В х -j- 1 == 4. или В 3 = О

Продолжая таким путем вычислять и дальше, найдем
В4 ~

gQ >В 6 — 0; В 0 =

~42 >В ;

=~ 0; В. —

____ 5 _
~

66

*

....................... .....

jo

:

~

Вю ^