home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
45
Для доказательства независи­
мости аксиомы 3) удалим из осно­
вной системы одну плоскость, напри­
мер, а (черт. 4), В этой системе вы ­
полняются все аксиомы, кроме' 3),
так как, например, для точки В и
прямой р не существует ни' одной
плоскости, принадлежащей им обеим.
Для доказательства независи­
мости аксиомы 4) добавим к осно­
вной системе плоскость е, принадле­
Ч ерт. 4
жащую точкам С и В и прямой т , прямую s, принадлежащую пло­
скости г, плоскости Р и точке С и прямую t, принадлежащую пло­
скости г, плоскости т и точке В (черт. 5). Все аксиомы, за" исклю­
чением 4), в этой системе выполняются. Последняя же места не
имеет, так как прямая г и плоскость г не имеют общей точки.
Переходя, наконец, к доказатель­
ству независимости аксиомы 5), рас­
смотрим две системы, отличающиеся от
систем, предложенных автором, только
конечностью числа элементов. Одна из
них состоит из четырех точек, пяти
прямых и трех плоскостей, располо­
женных так, как показано на черт. 6.
В этой системе имеют место аксиомы
1), 2), 3), 4) и вторая часть аксиомы 5),
но в то же время не существует четыт 5
рех точек, не принадлежащих одной
плоскости, что и доказывает независи­
мость первой части аксиомы 5). Вторая
система состоит из двух непересекающихся прямых, четырех точек, при­
надлежащих одной из них и четырех
плоскостей, каждая из которых при­
надлежит одновременно другой прямой
и одной из упомянутых точек (черт. 7).
Легко показать, что в этой системе
выполняются аксиомы 1), 2), 3) и 4),
первая часть аксиомы 5) тоже выпол­
няется, так как плоскости, в которой ле­
жали бы все четыре точки, в нашей си­
стеме нет. Между тем все точки лежат на
одной прямой, и следовательно вторая
часть аксиомы 5) не выполняется; это и
доказывает ее независимость от осталь­
ных аксиом соединения.

Ч ерт. 7