home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
44
зательства независимости аксиомы Ь) возьмем основную систему
(тетраедр). Принадлежность точки и прямой, а также принадлежность прямой и плоскости будем понимать как обычно, но взаимно
принадлежащими точкой и плоскостью назовем противолежащие,
в элементарно-геометрическом смысле, вершину и грань, например,
А принадлежит а, В принадлежит р. Выполняемость аксиом 1), 2)
и 5) очевидна; аксиома 3), как пока­
зывает рассмотрение всех возможных
случаев, тоже выполняется, например,
точка А и прямая р определяют пло­
скость а. Легко доказать справедли­
- Л В вость в этой системе и аксиомы 4),
например, прямая п и плоскость а
определяют точку А. Аксиома Ь) в
этой системе не имеет места, например,
1 принадлежит и точке А и плоскости
?> ко А и р друг другу не принадле­
жат; таким образом независимость акси­
омы Ь) от остальных доказана.
Для доказательства независи­
мости аксиомы 1) удалим из основQ
ной системы плоскость а и прямые
m, р, q (черт. 2). Взаимную принад­
лежность оставшихся элементов, как
и везде в дальнейшем, будем пони­
мать в обычном смысле. Поэтому в
данной системе и во всех следующих
аксиома Ь) будет выполняться. Легко
видеть из рассмотрения всех возмо­
жных случаев, что все аксиомы, кроме
1), в построенной нами системе вы­
Ч ер т 2.
полняются, но аксиома 1) места не имеет, так как, например, точки
В и С не определяют ни одной прямой.
Переходя к аксиоме 2), добавим
к основной системе плоскость г, при­
ь
надлежащую трем точкам, например,
В, С и D, но не принадлежащую ни
одному из остальных элементов (черт. 3).
Легко показать выполняемость аксиом
1), 3) и 5). Справедливости аксиомы 4)
не противоречит наличие у плоскости г
и прямой р (или ю, или q) двух общих
точек, так как этой аксиомой устанав­
ливается только существование точки
пересечения, единственность же не тре­
буется. Аксиома 2) в нашей системе
места не имеет, так как, например, плоскости сс и г не имеют
общей прямой.

в