home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
40

или г' гг С Ф (г).
Окончательный вид формул преобразования

/ г' = С Ф ( г )
убеждает нас в том, что отображение с точностью до преобразо­
вания подобия является единственным.
Вполне естественна попытка получить интерпретацию Пуанкаре,
как и стереографическую проекцию, путем проектирования. Для
этого возьмем в пространстве Лобачевского касающиеся друг
другу плоскость и орисферу, а в плоскости, проходящей через
точку касания перпендикулярно к данной и пересекающей данную
плоскость по прямой, а орисферу по орициклу, две прямые. В ка­
честве одной из этих прямых нужно взять перпендикуляр к данной
плоскости в точке касания, а в качестве другой-прямую, параллель­
ную указанной прямой пересечения и касающуюся указанного ори­
цикла. Эти две прямые являются сверхпараллельными и вполне
определяют некоторую связку сверхпараллельных прямых, проек­
тирующую точки плоскости Лобачевского на орисферу. Так как
перпендикуляр в точке касания является одним из лучей связки,
каждая прямая плоскости, проходящая через эту точку, проектируе­
тся орициклом; последний же при изометрическом отображении
орисферы на плоскость Евклида преобразуется в прямую. Поэтому
достаточно доказать комформность такой проекции, чтобы убеди­
ться в ее тождестве с интерпретацией Пуанкаре.
Для доказательства конформности представим пространство
Лобачевского в интерпретации Пуанкаре на внутренности шара,
отобразив точку касания цен­
тром. Тогда проектируемая
плоскость Лобачевского ото­
бразится плоскостью о, а
орисфера — сферой
каса­
ющейся
фундаментальной
сферы. Вспомогательная пло­
скость, перпендикулярная к
данной,
отобразится тоже
плоскостью, которую мы сов­
местим с плоскостью черте­
жа. Линии ее пересечения
с данной плоскостью и орисферой отобразятся прямой
s и окружностью к; прямые,
определяющие связку,— пря­
мой t и окружностью h, сама
связка—связкой окружностей.
Возьмем сферу Х3касающуюся
плоскости о в точке О и
.Ш .
ортогональную к окружности