home

Пермский государственный педагогический институт. Ученые записки. Выпуск 3

?
Е. Г, Гонин

Интерпретация Пуанкаре как аналог
стереографической проекции.
Рассмотрим интерпретацию Пуанкаре плоскости Лобачев­
ского на внутренности круга евклидовой плоскости. Она представ­
ляет, как известно, конформное отображение и может быть сравнена
с конформным отображением плоскости геометрии Римана, послед­
нее же можно наглядно представлять как проекцию сферы на
плоскость.
Особенно тесна связь, интерпретации Пуанкаре со стереогра­
фической проекцией. Им обще, например, круговое свойство, т. е.
отображаемость любой окружности t или прямой окружностью же
или прямою. Наиболее важным общим свойством является суще­
ствование пучка прямых неевклидовой плоскости, который отобра­
жается пучком прямых плоскости Евклида. В случае стереографи­
ческой проекции таким пучком является пучок больших кругов,
проходящих через точку касания сферы с плоскостью проекции,
а в случае интерпретации Пуанкаре— пучок прямых плоскости Лоба­
чевского, проходящих через точку, отображаемую центром фунда­
ментальной окружности.
Это свойство может быть даже положено в основу определе­
ния указанных отображений, так как легко показать единственность
конформного отображения неевклидовой плоскости на евклидову,
при котором определенному пучку прямых соответствует пучок
прямых. Для этого, как известно, нужно центры указанных пучков
взять за полюсы полярных систем координат, а какие-нибудь соот­
ветствующие друг другу лучи этих пучков—-за полярные оси. Пусть
(г, ф) — координаты точки М неевклидовой плоскости, а (г', ®') —
координаты соответствующей точки М' плоскости Евклида.
Вследствие конформности отображения ф' = «р. Вследствие кон­
формности же каждая окружность неевклидовой плоскости с центром
в полюсе отображается линией,, ортогональной к радиусам полярной
системы, взятой на евклидовой плоскости, т. е. также окружностью.
дг'
П о э т о м у = 0 и r' = f (г). Выражение элемента длины неевкли­
довой плоскости в нашем случае имеет вид ds2 = d r2 -f- [g(r)]J d®,2
где g (г) с= k snh

(для" плоскости Лобачевского) или g (г) = Rsin -Н-

(для плоскости Римана), а евклидовой—ds'2= d r ,2+ r ,s d®'2— drl2-|-r'2d92.
Вследствие конформности
^ dr
/
dr
dr'
dr
dr'
г
-In C; r': = Ce
Inr'
dr,
.SfW
S (г)
J
f